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Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Syllabus :
1. L'ESPACE DE PROBABILITÉ (1/3)
- INTRODUCTION GÉNÉRALE À LA THÉORIE DES PROBABILITÉS
- EXPÉRIENCES ALÉATOIRES - ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES
- Séance supplémentaire : RAPPELS DE THÉORIE DES ENSEMBLES
- PROBABILITÉ SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
- Le « paradoxe » du Chevalier de Méré
- Le jeu du Blackjack
- La formule d'inclusion-exclusion
- Distribution aléatoire du courrier
2. L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)
- PROBABILITÉ UNIFORME SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
- PROBABILITÉ UNIFORME SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
- Séance Supplémentaire : RAPPELS DE COMBINATOIRE
- DÉFINITION GÉNÉRALE D'UNE PROBABILITÉ - TRIBU
- DÉFINITION GÉNÉRALE D'UNE PROBABILITÉ - TRIBU
- Le «paradoxe» des anniversaires
- Deux manières de tirer sans remise
- La statistique de Bose-Einstein
3. L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)
- CONDITIONNEMENT
- FORMULE DE BAYES
- INDÉPENDANCE
- THÉORÈME DE BOREL-CANTELLI
- VARIABLES ALÉATOIRES
- Sur la probabilité de réussite à un examen
- Sur l'indépendance d'événements
- Évaluation d'un test de dépistage
- Recherche dans des tiroirs
- Événements indépendants
- Produit d'espaces de probabilité
4. VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (1/2)
- LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE
- ESPÉRANCE
- VARIANCE ET MOMENTS
- VARIANCE ET MOMENTS
- Clés
- Interviews
- Loi de Pascal
- Tribu et loi d'une variable aléatoire
- Jeu de trois dés
5. VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (2/2)
- FONCTIONS GÉNÉRATRICES
- COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES, VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES
- COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES, VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES
- Enfants d'une famille
- Indépendance - espace produit
- Accidents dans une usine
- Expression d'espérance
- Canards et chasseurs
- Somme aléatoire de dés
6. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)
- LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE - FONCTION DE RÉPARTITION
- LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE À DENSITÉ
- VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI UNIFORME et SIMULATION
- VARIABLES ALÉATOIRES DE LOIS EXPONENTIELLE OU GAMMA
- VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI NORMALE
- INTRODUCTION ET SIMULATION DES LOIS DISCRÈTES
- INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION
- ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : MÉTHODE D'INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION
- Variable aléatoire déterministe
- Queue de gaussienne
- Domination stochastique
- Image d'une variable aléatoire par sa fonction de répartition
7. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (2/3)
- ESPÉRANCE D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE
- CALCUL D'ESPÉRANCES
- Espérance et projection orthogonale
- Pièce au mur
- Vitesse sur autoroute
- Colère exponentielle
- Loi semi-circulaire de Wigner
- Intégration par parties
8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (3/3)
- CALCUL DE LOIS
- INÉGALITÉS FONDAMENTALES
- INÉGALITÉS FONDAMENTALES
- Loi lognormale, homographie gaussienne
- Calculs de lois
- Entropies probabilistes
- Normes Lp et inégalités
- Concentration de la loi de Poisson
