Share Description
Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
Syllabus :
1. Introduction
- présentation
- survol historique
- polynômes
- polynômes, suite
- caractéristique
2. Extensions de corps
- algébricité, transcendance
- extensions de corps
- extensions de corps, suite
- corps algébriquement clos
- élément primitif
- Complément sur les espaces vectoriels
3. Polynôme minimal
- polynôme minimal et conjugués
- extensions de corps et conjugués
4. Corps fini
- corps finis
- élément primitif et corps finis
- construction de corps finis
5. Théorie des groupes I
- théorie des groupes
- groupes quotients
6. Correspondance de Galois
- correspondance de Galois
- extensions galoisiennes
- correspondance de Galois, suite
- Galois et groupe symétrique
- Galois pour les corps finis
7. Théorie des groupes II
- groupes résolubles
- Complément sur les sous-groupes transitifs résolubles de Sp
8. Cyclotomie I
- cyclotomie
- théorie de Kummer
- deux exemples de calcul
9. Théorèmes de résolubilité de Galois
- critère de résolubilité
- le cas des équations de degré premier
- Complément sur les anneaux quotients et idéaux
10. Réduction mod p
- réduction mod p faible
- réduction mod p forte
- Complément : retour sur un exemple de calcul
- Complément sur le théorème de Cebotarev
